В 1905 г. С.Н. Бернштейн вернулся на родину, в Санкт-Петербург. Для того чтобы продолжить научную и начать преподавательскую деятельность, он должен был вновь защитить магистерскую и докторскую диссертации, так как степени, полученные за границей, в России не признавались. В Санкт-Петербурге он сдал магистерские экзамены в 1906 г. и в 1907-1908 гг. преподавал на Женских политехнических курсах. В 1908 г. переехал в Харьков, где стал работать на Высших женских курсах (1908-1918 гг.). По приезде состоялась защита его магистерской диссертации «Исследование и интегрирование дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка эллиптического типа», оппонентами выступили Д.М. Синцов и А.П. Пшеборский. В диссертацию Бернштейн включил решение двух проблем Гильберта - 19-й и примыкающей к ней по смыслу 20-й (о разрешимости задачи Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений эллиптического типа при достаточно общих предположениях). После защиты он стал преподавателем Харьковского университета (с 1908 -приват-доцент, в 1920-1933 гг. -профессор). Среди курсов, впервые им здесь поставленных, были интегрирование уравнений математической физики, аналитическая теория дифференциальных уравнений и интегральные уравнения, теория вероятностей.
В начале XX в. благодаря работам Э. Бореля, А. Лебега, Ш. Валле-Пуссена возрастает интерес к проблемам приближения функций многочленами. В 1910 г. по инициативе бельгийского математика Валле-Пуссена Королевская академия наук Бельгии объявила конкурс на решение задачи о наилучшем приближении функции f(x) = |x| многочленами. В 1911 г. Бернштейн представил на конкурс свои результаты, которые были премированы Бельгийской академией на заседании 15 декабря 1911 г., а Валле-Пуссен охарактеризовал их как «наиболее существенный вклад из всех, какие были сделаны в области разложения функций действительного переменного в ряды полиномов». Тем самым был заложен фундамент новой области, которую Бернштейн впоследствии (1938 г.) назвал «конструктивной теорией функций». Эта работа составила главную часть его докторского исследования «О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов n-й степени». Диссертация была защищена 19 мая 1913 г. в Харьковском университете при официальных оппонентах А.П. Пшеборском и Н.Н. Салтыкове.
