В 1951 году окончил математико-механический
факультет Ленинградского государственного университета, был оставлен в
аспирантуре ЛГУ. Далее — младший научный сотрудник Ленинградского
Математического института АН СССР. В 1957 году, когда Советским правительством
принято решение о создании Сибирского отделения Академии наук, Ю.Г. Решетняк в
числе первых молодых ученых переехал с семьей в Новосибирск, в новой Институт
математики СО РАН (позднее — им. С.Л.Соболева), где прошел весь трудовой путь: младший,
старший научный сотрудник, зав. отделом геометрии и топологии, зав. отделом
геометрии и анализа. С 2005 года по настоящее время — советник РАН Института.
В 1966 году избран зав. кафедрой
математического анализа Новосибирского государственного университета.
Член-корреспондент АН СССР c 1981 года, академик
АН СССР c 1987 года — Отделение математических
наук.
Специалист в области геометрии и
математического анализа.
Научные интересы академика Ю.Г.
Решетняка охватывают широкий круг вопросов современной математики. Он является
основоположником новых направлений в математике, занимающих пограничное место
между анализом и геометрией. Помимо крупных достижений, относящихся к его
первым и основным научным интересам — геометрии и теории функций вещественной
переменной, ему принадлежат важные результаты в математической физике,
вычислительной математике, в функциональном анализе и в ряде других пограничных
с анализом и геометрией областях науки. Следует назвать знаменитую теорему Ю.Г.
Решетняка об изотермических координатах на двумерных многообразиях ограниченной
кривизны, введенных А.Д. Александровым. Классическими стали теоремы Ю. Г.
Решетняка о слабой сходимости якобианов и о полунепрерывности снизу
функционалов вариационного исчисления.
Направления его научной деятельности:
геометрия, квазиконфрмный анализ, вариационное исчисление, теория потенциала.
Ему принадлежат результаты об ограниченности поворота кратчайшей, о множестве
значений счетно-аддитивной вектор-функции множества и о смешении отрезков,
глубокие результаты в интегральной геометрии. Мировую известность приобрели заложенные
им основы современного квазиконформного анализа, где он доказал, что всякое
отображение с ограниченным искажением непрерывно, открыто и дискретно, и получил
полное решение проблемы Лаврентьева об устойчивости в теореме Лиувилля о
конформных отображениях пространства. Он получил коэрцитивные оценки для ряда
классических операторов и распространил их на области Джона. Кроме того, он
доказал тонкие результаты в нелинейной теории потенциала.
Ю.Г. Решетняку принадлежат
фундаментальные результаты в геометрии, в теории функций, в области
классического вариационного исчисления и в ряде других разделов. Одно из них
получило название теории пространственных отображений с ограниченным искажением
(квазирегулярных отображений). Последние представляют собой многомерный
вещественный аналог аналитических функций и «неоднолистное» обобщение
пространственных квазиконформных отображений.
В работах Ю.Г. Решетняка заложены также
важные понятия нелинейной теории потенциала, одним из которых является (l,
p)-емкость. В рамках этого направления достигнуты существенные продвижения в
теории функций с обобщенными производными.
В последние годы он разрабатывает
трудные вопросы интегральной геометрии в пространствах с ограниченной по
Александрову кривизной, в лаборатории Ю.Г. Решетняка ведутся исследования в
новом направлении — теории отображений с ограниченным искажением на группах
Карно-Каратеодори.
Им подготовлено 15 кандидатов наук, 6 из
них стали в последующем докторами наук.
Ю.Г. Решетняк опубликовал 206 научных
работ, из них 27 монографий, написал более 20 учебных пособий.
Член редколлегии журналов Математические
труды, Siberian Advances in Mathematics. Активно работает с первых дней
организации «Сибирского математического журнала», вложил много сил в его создание,
становление и формирование научного облика.
Иностранный член Финской Академии наук с
1996 года.
Заслуженный деятель науки РФ.
Награжден орденом «Знак почета», медалью
ордена «За заслуги перед Отечеством» II ст., медалью «За доблестный труд»,
другими наградами.
Удостоен премии им. М.А. Лаврентьева РАН
за цикл работ «Решение задачи М.А.Лаврентьева об устойчивости в теореме
Лиувилля», премии им. Н.И. Лобачевского за цикл работ «Аналитические
исследования двумерных многообразий ограниченной кривизны».
Почетный член Московского
математического общества с 1997 года.