Иногда можно услышать мнение, что в математике все самое важное уже сделано, все главные принципы и законы открыты, и поэтому современным ученым ничего не остается, кроме как уходить в оторванные от реальности дебри. Такой взгляд опровергает российский математик, старший научный сотрудник Математического института им. В. А. Стеклова РАН Андрей Дымов. Он работает над строгим обоснованием теории волновой турбулентности для стохастической модели Захарова – Львова. К слову, определенных успехов молодой ученый уже достиг, о чем говорит присужденная ему медаль РАН. Корреспондент «Поиска» поговорил с математиком и попросил раскрыть сложную для понимания тему.

Андрей Викторович Дымов.

– Андрей, для начала расскажите, что такое волновая турбулентность и зачем ее изучают?

– Лучше бы адресовать этот вопрос физикам, работающим над теорией, но я попробую на него ответить в меру своего понимания.

В 1941 году Андрей Николаевич Колмогоров создал свою знаменитую теорию турбулентности, которую сейчас называют К41. Возможно, на взгляд обывателя слово «турбулентность» ассоциируется с чем-то абсолютно беспорядочным. Однако это не так. Турбулентное течение состоит из вихрей разного размера. Большие вихри неустойчивы и разваливаются на меньшие. При этом энергия больших вихрей делится между образовавшимися. Эти меньшие вихри разваливаются на еще меньшие. Таким образом образуется каскад энергии от вихрей больших размеров к вихрям меньших.

Согласно Колмогорову, этот кас­кад устроен вполне определенным и универсальным образом. Однако его рассуждения основаны лишь на анализе размерностей физических характеристик системы: предполагая, что такая замечательная универсальность действительно есть, он вычислил, как именно должен быть устроен каскад энергии. После появления статей Колмогорова проводилось много экспериментов, которые подтвердили его выводы. Тем не менее удовлетворительной физической теории, объясняющей причины существования такой универсальности, до сих пор нет, несмотря на чрезвычайный интерес физического сообщества к этим вопросам. Дело в том, что уравнения, которые описывают турбулентное течение, чрезвычайно сложны. Это уравнение ­Навье – Стокса, про которое мы даже не знаем, существует ли у него решение и единственное ли оно, – это одна из так называемых задач тысячелетия.

В 1960-х годах физики, в частности, Владимир Захаров, поняли, что каскад энергии, аналогичный найденному Колмогоровым, существует в широком классе других физических систем, описываемых гораздо более простыми уравнениями. Им удалось построить содержательную физическую теорию – теорию волновой (или слабой) турбулентности, объясняющую универсальность каскада энергии для этого класса систем. С тех пор теория волновой турбулентности интенсивно развивается в работах отечественных и зарубежных физиков: ей посвящены сотни публикаций. Выяснилось, что она описывает турбулентность во множестве важных волновых систем: от квантовых до астрофизических масштабов. Например, это капиллярные волны, Альвеновские волны, волны Россби в атмосфере (связанные с изменениями погоды и климата), волны в конденсате Бозе – Эйнштейна, в нелинейной оптике.

Замечу, что истоки теории часто относят даже не к работам Захарова и его школы, а к статье Рудольфа Пайерлса 1929 года, ученика Вольфганга Паули. Пайерлс исследовал теплопроводность в кристаллах с точки зрения статистической механики. В его работе, хотя и в другом контексте, впервые появилось так называемое волновое кинетическое уравнение – центральный объект теории волновой турбулентности. С этим связан другой взгляд на теорию – ее можно рассматривать как аналогичную двум знаменитым кинетическим теориям: Больцмана, которая описывает динамику газа, и уже упомянутой теории Пайерлса. Только роль сталкивающихся частиц газа (у Больцмана) или частиц, сидящих в узлах кристаллической решетки (у Пайерлса), играют взаимодействующие нелинейные волны.

– Это все о физике, но вы ведь занимаетесь математикой.

– С точки зрения физики теория волновой турбулентности понятна довольно хорошо. Но разница между физическим и математическим уровнями понимания велика (математики доказывают строгие теоремы, в то время как выводы физиков не строги). Та же кинетическая теория Больцмана была обоснована математически лишь сто лет спустя после ее появления, это было сделано в знаменитой работе Оскара Ланфорда. И все равно нельзя сказать, что теперь она понята хорошо: теорию удалось обосновать только в предположении, что «время мало», а физикам как раз интересно, когда оно «велико». Так вот, когда теория становится хорошо понятой с точки зрения физики, наступает момент для ее математического обоснования. Как говорил знаменитый физик Дирак во время своего визита в МГУ в 1956 году, «физический закон должен обладать математической красотой». Трактуя эту фразу широко, я бы сказал, что хорошая физика порождает хорошую и красивую математику и это – естественный и правильный путь для развития математики. Я верю и надеюсь, что это – взаимовыгодное сотрудничество: физики дают математикам хорошие задачи, а математики наводят порядок в физических теориях и разрабатывают язык для дальнейшего исследования.

Сегодня теория волновой турбулентности довольно хорошо понята физически, но математически она разработана совершенно недостаточно. Первая математическая работа была опубликована лишь в 2015 году, несмотря на большой интерес в сообществе математических физиков к этой задаче. С тех пор появилось порядка пятнадцати работ, понимания стало заметно больше, но все равно пока мы слабо понимаем математику, лежащую за этой теорией. Но уже видно, что эта математика очень красивая и богатая.

– За что вам присуждена медаль РАН с премией для молодых ученых?

– Наверное, за серию работ, где мы неплохо продвинулись в понимании математики, дающей обоснование теории волновой турбулентности. Мы – это я, Сергей Борисович Куксин, у которого я учился, еще будучи аспирантом, а также наши соавторы Альберто Майокки (Италия) и Сергей Влэдуц (Франция, Россия). Необходимо отметить, что идея работать над этой темой, конкретная постановка задачи и значительная часть идей о подходе к ней принадлежат именно Куксину, он – главный драйвер этой деятельности. Верная постановка задачи – это уже полдела. Она, мягко говоря, не очевидна. В общем, я думаю, что медаль мне дали за комбинацию качественной математики и продвижение в важной и перспективной задаче. Если говорить более конкретно, то мы строго вывели центральный объект теории – волновое кинетическое уравнение, однако не для настоящего решения системы, а только для приближенного, где близость понимается в очень специальном смысле.

– Почему ваша модель называется стохастической?

– Сейчас все понимают: чтобы получить результаты, подобные тем, за которыми мы охотимся, так или иначе нужно вводить в систему стохастику, то есть случайность. Наиболее распространенный способ – предположить, что начальные условия случайны. Мы же действуем по-другому, добавляем случайное возмущение прямо в уравнение. В результате случайности получается больше, но зато и результаты сильнее. Поэтому мы и называем модель стохастической. Подобную модель впервые предложили Владимир Захаров и Виктор Львов в статье 1975 года, поэтому получается, что мы следуем их подходу.

– Долго ли вы собираетесь развивать модель?

– Сейчас мы находимся в завершающей стадии обоснования ключевой части теории. Пытаемся доказать, что приближенное решение нашей системы действительно близко к настоящему решению. Если это так, то мы выведем волновое кинетическое уравнение уже для настоящего решения. Мы верим, что, если получится, то откроется фактически целая новая область для дальнейшего исследования. А новые, хорошие, сложные, но отнюдь не безнадежные задачи – это то, чем живет математика, и то, что часто так трудно найти.

Можно идти в глубь: в теории еще много фундаментальных вопросов, и не понятно, как к ним подступиться. Можно и в ширь: пока мы рассматриваем только самую простую модель, заданную нелинейным уравнением Шредингера. А нужно попробовать применить нашу технику к другим, более сложным моделям. Можно идти даже за пределы теории: рядом есть другие важные открытые вопросы математической физики, к которым, как нам кажется, можно применить наш подход. Например, обоснование теории Пайерлса теплопроводности в кристаллах. Но это все мечты, а пока нужно завершить то, что мы делаем сейчас.

Между прочим, наша задача уже решена группой ученых, работающих в США. В прошлом году они выпустили статью, завершающую серию их предыдущих публикаций, где им удалось строго вывести волновое кинетическое уравнение для модели, несколько отличной от нашей. Это очень сильная работа, но у нее есть существенный недостаток. В некотором смысле они решили задачу в лоб, и это вылилось более чем в 130 страниц математики для самой простой модели. Основу этой математики составляет комбинаторика графов, где происходят необъяснимые сокращения, которые и дают нужный результат. Повторюсь, это чрезвычайно сильная работа, и я был бы очень рад числиться среди ее авторов, но мне сложно назвать это хорошим пониманием задачи. В частности, их статью очень сложно проверить, то есть сложно проверить верность их решения. К тому же раз для простейшей модели нужно писать больше 130 страниц, то, на мой взгляд, это ставит под вопрос дальнейшее развитие области. Подтверждением этой мысли служит то, что вслед за этой работой через пару месяцев вышла статья другой группы, где похожая техника применялась к более сложной системе. И это уже заняло больше 200 страниц. Мы же думаем, что все должно работать иначе, заметно проще, и пытаемся развить другой подход, который даст нормальное понимание происходящего и сделает все значительно компактнее, позволив двигать эту науку дальше.

Беседовал Василий Янчилин.