Академику Холево Александру Семеновичу - 80 лет!

Академик
Холево Александр Семенович

Александр Семенович Холево родился 2 сентября 1943 года.

В 1966 году окончил Московский физико-технический институт по специальности «Прикладная математика и вычислительная техника». С 1969 года — в Математическом институте им. В.А. Стеклова АН СССР/РАН, в настоящее время — главный научный сотрудник, заведующий Отделом теории вероятностей и математической статистики МИАН им. В.А. Стеклова.

С 1970 года преподавал на Кафедре высшей математики Московского физико-технического института (МФТИ), с 1986 года —профессор МФТИ. В 2002-2012 гг. — профессор Кафедры случайных процессов и математической статистики МГУ им. М.В. Ломоносова. В 2014-2019 гг. — профессор Московского института электроники и математики НИУ Высшая школа экономики. Читает лекции в Научно-образовательном центре МИАН.

Член-корреспондент РАН c 2016 года, академик РАН c 2019 года — Отделение математических наук.

Академик А.С. Холево — известный российский математик, внесший существенный вклад в математические основы квантовой теории, некоммутативную теорию вероятностей, квантовую теорию информации, случайных процессов и статистических решений. Он является автором прорывных результатов, повлиявших на появление и развитие квантовой информатики – науки о квантовых коммуникациях и вычислениях, пользуется в мире репутацией основоположника в этих областях. Широко известны его публикации, посвященные теории квантовых каналов, изучающей устройства для передачи информации между квантовыми системами. В 1973 году он получил оценку максимального количества информации, которое может быть известно о системе квантовых состояний — этот результат называют границей (теоремой) Холево. Впоследствии доказал квантовую теорему кодирования (теорема Холево-Шумахера-Вестморленда), решающую в положительном смысле принципиальный вопрос об асимптотической достижимости этой границы.

Основные научные результаты А.С. Холево:

- Разработана математическая теория квантовых каналов связи на основе концепции вполне положительных отображений алгебр наблюдаемых;

- Доказаны фундаментальные теоремы кодирования квантовой теории информации, обнаружен неклассический феномен супераддитивности информации сцепленных квантовых измерений;

- Построена структурная теория бозонных гауссовских каналов связи. Решена проблема квантовых гауссовских оптимизаторов, даны явные выражения фундаментальных пределов скорости передачи информации для наиболее используемых классов квантовых гауссовских каналов;

- Построена некоммутативная теория статистических решений, основанная на концепции вероятностной операторно-значной меры. Получены необходимые и достаточные условия оптимальности оценок параметров квантового состояния;

- Разработана теория квантовых случайных процессов, дано исчерпывающее описание структуры генераторов ковариантных динамических полугрупп и квантовых марковских процессов, получены функциональные предельные теоремы о сходимости серий последовательных квантовых измерений к процессу непрерывного измерения.

В 1969-1970 гг. А. С. Холево, отталкиваясь от проблемы эквивалентности бесконечномерных гауссовских распределений, лежащей в основе ряда вопросов статистики случайных процессов, пришел к изучению ее некоммутативного аналога — проблемы квазиэквивалентности обобщенно-свободных состояний канонических коммутационных соотношений. В работах 1971-1972 гг. им получены необходимые и достаточные условия и полная классификация типов обобщенно-свободных состояний. С точки зрения математической физики эти результаты проясняли аналитическую природу некоторых расходимостей в квантовых системах с бесконечным числом степеней свободы и продолжали классические работы К. Фридрихса, И. Сигала, Н. Н. Боголюбова, Р. Пауэрса и Э. Штермера.

Такой «некоммутативный» поворот в области научных интересов А.С. Холево был в дальнейшем продолжен фундаментальными работами по изучению статистической структуры квантовой теории. Как внутренняя логика современного развития вероятностной науки, так и прогресс средств передачи и обработки информации, появление новых информационных технологий делают чрезвычайно актуальным вопрос о последовательном квантово-механическом обобщении идей и методов теории вероятностей, математической статистики, теории информации и случайных процессов. В становлении и развитии этого направления исследований в нашей стране А.С. Холево принадлежит ведущая роль. Он увидел, что в этом направлении открываются необозримые горизонты, позволяющие органически сочетать методы теории операторов и вероятностных дисциплин для решения задач квантовой информатики. С тех пор и до настоящего времени А.С. Холево, как исследователь, двигается в этом направлении.

Им было впервые построено некоммутативное обобщение теории статистических решений, дающее математическую основу для корректной постановки и решения нового класса статистических задач, возникающих в вопросах передачи информации по квантовым каналам связи. Установлены необходимые и достаточные условия оптимальности в квантовой байесовской задаче, введен и исследован некоммутативный аналог метода максимального правдоподобия, получено полное решение задачи об оптимальном измерении среднего значения квантового поля в гауссовском состоянии. Эти результаты обобщены в докторской диссертации «Исследования по общей теории статистических решений», опубликованной как отдельная монография в трудах МИАН в 1976г. и изданной Американским математическим обществом на английском языке в 1978 году.

В работах А.С. Холево 1973 году было обнаружено принципиальное свойство супераддитивности информации в квантовом канале связи без памяти. Это свойство, в определенном смысле дуальное корреляциям Эйнштейна-Подольского-Розена и не имеющее классических аналогов, означает, что информация, содержащаяся в измерениях над квантовой системой, состоящей из независимых подсистем, может превышать сумму информаций, отвечающих подсистемам. В этой связи впервые было дано корректное определение пропускной способности квантового канала связи и установлена принципиальная верхняя граница количества передаваемой информации, широко цитируемая в литературе. Вопрос об асимптотической достижимости этой границы был решен (в положительном смысле) лишь в середине 1990-х годов: сначала для канала без шума, в работах американских специалистов, а затем, для общего случая, в работе А.С. Холево.

Чтобы объяснить суть теоремы, или границы Холево, можно представить себе некий секретный квантовый канал связи с двумя участниками. В контексте этой модели классическое количество информации, которое может получить третий участник — «подслушиватель», какие бы он измерения над этим каналом связи ни производил, не может превышать конкретную величину, которая получила название информации Холево. Знание верхнего квантового предела того, что может извлечь «подслушиватель», позволяет ускорить секретную передачу и обработку информации по квантовому каналу. Первоначально эта теорема не имела криптографического звучания, она казалась просто неким математическим неравенством, и оказалась крепким орешком. Важные практические последствия для криптографии выяснились лишь впоследствии.

Исследования А.С. Холево 1980-90-х гг. относятся к динамической теории открытых квантовых систем и квантовых случайных процессов. Им установлен некоммутативный аналог представления Леви-Хинчина для эрмитовых условно-положительно определенных функций со значениями в пространстве ограниченных отображений С*-алгебры, проливающий свет на структуру квантовых процессов непрерывного измерения, получена функциональная предельная теорема о сходимости серий последовательных измерений к процессу непрерывного измерения. Эти исследования, раскрывающие новые неожиданные связи между классическими разделами теории вероятностей и квантовой теорией, составили предмет приглашенного доклада на Математическом конгрессе в Беркли в 1986г.

Исследования А.С. Холево 1980-90х гг. относятся к динамической теории открытых квантовых систем и квантовых случайных процессов. Им установлен некоммутативный аналог представления Леви-Хинчина для эрмитовых условно-положительно определенных функций со значениями в пространстве ограниченных отображений С*-алгебры, проливающий свет на структуру квантовых процессов непрерывного измерения, получена функциональная предельная теорема о сходимости серий последовательных измерений к процессу непрерывного измерения. Эти исследования, раскрывающие новые неожиданные связи между классическими разделами теории вероятностей и квантовой теорией, составили предмет приглашенного доклада на Математическом конгрессе в Беркли в 1986 году.

Развивая это направление, в 1990-е годы А.С. Холево получил существенное продвижение в структурной теории динамических полугрупп. Понятие динамической полугруппы является некоммутативным аналогом понятия марковской полугруппы: последние действуют в функциональных пространствах, тогда как динамические полугруппы — в алгебрах операторов, удовлетворяя при этом естественным условиям положительности и нормировки. Это понятие, одно из центральных в некоммутативной теории вероятностей, сформировалось в 1970-е годы в связи с обоснованием марковского управляющего уравнения (аналог уравнения Колмогорова) в квантовой теории открытых систем, однако большая часть строгих результатов относилась к случаю ограниченного генератора.

Используя, с одной стороны, идеи классической теории марковских процессов, а с другой — методы когомологий алгебр и групп, А.С. Холево сумел существенно развить теорию для неограниченных генераторов, получив целый ряд принципиально новых результатов, в частности отмеченных среди лучших работ Российской Академии наук по итогам 1992 и 1995 гг. Было найдено законченное описание вида квантовых марковских управляющих уравнений, ковариантных по отношению к важным группам симметрий, в частности, трансляционно- и галилеево-ковариантных.

Прояснен давно стоявший вопрос о возможности так называемого стандартного представления генератора: с одной стороны, в 1996 году построен пример генератора, не допускающего стандартного представления на всей области определения, а с другой — доказана возможность стандартного представления на некотором плотном подпространстве, не являющемся, вообще говоря, существенной областью определения. В 1997 году он был удостоен премии им. А.А. Маркова Российской академии наук за цикл работ по некоммутативной теории вероятностей. Эти работы создали прочный математический фундамент как для дальнейшего развития теории квантовых случайных процессов, так и для многочисленных приложений.

С середины 1990-х годов научные интересы А.С. Холево вновь связаны с квантовой теорией информации — научной дисциплиной, которая начинает быстро развиваться после прорывных открытий П. Шора, Ч. Беннета и их коллег в области квантовых вычислений и криптографии, привлекая большое число исследователей во всем мире. В 1996 году А.С. Холево доказал в наиболее общей форме теорему кодирования для классической пропускной способности конечномерного квантового канала, которая была им же в дальнейшем обобщена на случай бесконечномерных каналов с энергетическими ограничениями. В 2002 году вышла его монография «Введение в квантовую теорию информации», которая стала настольной книгой для многих исследователей в данной области. Его вклад в это направление получает широкое признание, в частности, в 1996 году он был удостоен международной премии «Quantum Communication Award» за развитие математических методов теории квантовых каналов связи.

Ключевое слово в теории информации — шум, сама теория — это борьба с шумом в каналах связи. В обычной классической теории информации борются с тепловым шумом, в квантовой возникает специфический квантовый шум, и он требует отдельного математического описания. Сейчас в разработке квантовых технологий борьба с шумами и помехами в квантовых каналах связи и в вычислительных устройствах стала самым важным вопросом.

Классическая теорема Шеннона утверждает, что если есть шумный канал, то существует способ передавать информацию на некоторой максимальной скорости практически безошибочно. Иначе говоря, есть пропускная способность, которая дает эту верхнюю границу скорости безошибочной передачи информации по каналу с шумом. Для этого надо специальным образом закодировать входной сигнал, потом его раскодировать, применяя коды, исправляющие ошибки. А.С. Холево удалось доказать это для каналов с квантовым шумом, его теорема показывает, что неравенство является достижимым, существует способ в пределе достичь квантовой границы, и тем самым она дает пропускную способность квантового канала.

В 1990-е гг. А.С. Холево является приглашенным профессором в ряде зарубежных университетов, в т. ч.: The Royal Society Kapitza Visiting Research Fellow, UK; the Mercator Professor, DFG, Germany; the Leverhulme Visiting Professor, University of Cambridge, UK. Продолжая поддерживать активные международные научные связи, он был членом Научного Комитета 5-го Европейского Конгресса математиков в Амстердаме (2008 г.), Европейского регионального комитета Общества Бернулли (2006-2010 гг.). 

В 1999 году А.С. Холево был удостоен Исследовательской премии фонда А. фон Гумбольдта. В 2000-х гг. он получает ряд принципиальных результатов в теории важного класса квантовых каналов связи — бозонных гауссовских каналов. Им, в частности, дана полная классификация одномодовых гауссовских каналов — результат, который стал основой для многих последующих работ в данной области. В 2010 году выходит монография А.С. Холево «Квантовые системы, каналы, информация», англоязычная версия которой выпускается в 2013 году издательством  DeGruyter (2-е издание — 2019 г.).  По существу, в данной монографии было впервые дано математически строгое изложение базовых понятий и результатов квантовой теории информации с учетом новейших достижений. 

Сравнительно недавно А.С. Холево удалось добиться новых результатов фундаментального значения. В соавторстве с европейскими коллегами В. Джованнетти и Р. Гарсиа-Патрон он решает задачу, которая в течение многих лет оставалась одной из основных открытых проблем квантовой теории информации — о гауссовских минимизаторах и аддитивности пропускной способности для квантовых гауссовских каналов связи. Средствами некоммутативной теории вероятностей было показано, что выпуклый функционал общего вида (включая энтропии фон Неймана, Реньи и нормы Шаттена), заданный на области значений гауссовского вполне положительного отображения (канала) на алгебре канонических коммутационных соотношений, достигает глобального экстремума на образе когерентных состояний, причем последние характеризуются этим свойством. Этот результат позволил вычислить пропускные способности и описать оптимальные методы кодирования для математических моделей широкого класса каналов связи, наиболее употребительных в квантовой информатике и квантовой оптике, установить, что классическая пропускная способность таких каналов аддитивна и достигается на гауссовском кодировании. В результате были даны явные выражения фундаментальных пределов скорости передачи информации для наиболее используемых классов квантовых гауссовских каналов.

Решение этой задачи позволило существенно продвинуть общую теорию квантовых гауссовских систем и каналов и было отмечено премией Российской Академии наук за лучшие научные достижения в 2015 году, а в 2016 году Общество по теории информации Международного института IEEE присудило А.С. Холево премию Клода Э. Шеннона. Эта премия является наиболее престижной в области теории информации, охватывающей множество современных наук. Последний раз ученые нашей страны удостаивались ее в 1978 году — еще в советское время, российскому ученому премия Шеннона вручена впервые.

Нынешние научные интересы А.С. Холево связаны с математическими вопросами квантовой информатики. Это имеет отношение к исследованию принципиальных ограничений, заложенных в квантовой природе мира, а также, возможно, и границ применимости квантовой теории. Так, открытие знаменитого американского математика П. Шора — квантовый алгоритм факторизации больших целых чисел — потенциальный «взломщик» популярных криптографических систем. Но квантовая информатика предлагает и противоядие «взломщику» в виде эффективных протоколов квантового распределения секретного ключа, уже реализованных на практике. Эти протоколы опираются на оборотную сторону квантового мира — ограничения и запреты (такие, как принцип дополнительности), которые органично встроены в вероятностную структуру квантовой теории. Исследования А.С. Холево как раз и направлены на выяснение количественных следствий такого рода ограничений. Так, теоремы кодирования квантовой теории информации устанавливают точные границы количества информации (классической или квантовой), которые можно передать по квантовому каналу, используя оптимальные методы кодирования-декодирования. При этом квантовый канал математически описывается вполне положительным отображением алгебр операторов, а нахождение его пропускных способностей приводит к новым оптимизационным задачам для энтропийных характеристик каналов.

Исследования А.С. Холево развивались в основном в направлении квантовых коммуникаций, где сейчас достигнуты, пожалуй, наибольшие технологические успехи. Появились оптические системы связи, физики научились распределять секретные квантовые ключи, существуют линии связи, которые используют принципы квантовой криптографии. Изучаются проблемы повторителей, источников одиночных фотонов. За последние 10 лет А.С. Холево получил новые ключевые результаты в теории бозонных квантовых систем и гауссовских каналов, имеющие важное значение для квантово-оптических систем связи, квантовой криптографии и квантовых вычислений.

В 2022 году А.С. Холево был удостоен Научной премии Сбера — «за основополагающий вклад в квантовую информатику и работы, открывающие путь к принципиально новым системам коммуникаций и вычислений».

А.С. Холево — лектор Базовой кафедры МИАН в МФТИ «Методы современной математики», где читает курс «Введение в квантовую информатику». Он — автор около 250 печатных научных работ, из них 5 монографий (4 переведены на английский язык и изданы ведущими зарубежными издательствами — AMS, North Holland, Springer-Verlag). Его наиболее цитируемые работы включают: «Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории» (3475 ссылок); «Некоторые оценки для количества информации, передаваемого квантовым каналом связи» (1607 ссылок); «Пропускная способность квантового канала с общими состояниями сигнала» (1311 ссылок); «Статистическая структура квантовой теории» (853 ссылок); «Квантовые системы, каналы, информация: математическое введение» (732 ссылки) и др. (данные согласно ‪Holevo Alexander - ‪Академия Google). 

Заместитель главного редактора журнала «Теория вероятностей и ее применения». Член редколлегий журналов: «Математический сборник», «Теоретическая и математическая физика», «Известия ВУЗов: Математика», «Quantum Information Processing», «Reports on Mathematical Physics», «Lobachevskii Journal of Mathematics».

Заместитель председателя Научного совета РАН «Квантовые технологии», член комиссий РАН по премиям имени А.Н. Колмогорова, А.А. Маркова, А.М. Ляпунова, член Ученого совета МИАН им. В.А. Стеклова РАН, член специализированного докторского совета при МИАН им. В.А. Стеклова РАН, член экспертного совета ВАК по математике и механике.