В 1931 г. А.Н. Крылов предложил интересный метод решения векового уравнения, над решением которого в свое время работали Ж. Лагранж, У. Леверье и К. Якоби.
Крылов знаменит своими работами по гидродинамике, в том числе и по теории движения корабля на мелководье (он был первым, кто смог объяснить и рассчитать значительное увеличение гидродинамического сопротивления при небольших глубинах) и теорией единичных волн. Он включает в круг своих исследований колебательные – в широком смысле слова – процессы и их применение в различных областях. Качка корабля на волне, движение воды в цистернах Фрама, движение гироскопа, будь то компас или успокоитель качки, вибрация судна – всё это типичные колебательные процессы.
Крылову принадлежат выдающиеся работы в области строительной механики корабля. Им создана теория вибрации судов и впервые введено преподавание этой дисциплины. Он обосновал и развил оригинальный метод расчета балок и перекрестных связей, обобщил этот метод применительно к балкам переменного сечения и к набору судового корпуса.
Важные работы были выполнены ученым по теории девиации магнитных компасов. Посвятив этой теме свои первые научные труды, Крылов вновь обратился к ней спустя более чем 50 лет. Дал полное изложение теории девиации магнитного компаса, исследовал вопросы теории гироскопических компасов, а также разработал теорию влияния качки корабля на показания компаса. За весь комплекс этих работ в 1941 г. ему была присуждена Сталинская (Государственная) премия.
В начале Великой Отечественной войны 1941–1945 гг. он был эвакуирован в Казань, позднее в Москву. В августе 1945 г., чтобы быть ближе к научным морским организациям и к родному кораблестроению, переехал в Ленинград.
До последних дней своей жизни Крылов участвовал в работе многих научно-исследовательских институтов и различных комиссий. Он трудился не только в областях, близких ему, – математике и кораблестроении, но и во многих других отраслях науки и техники, вплотную занимался многочисленными вопросами строительства флота и работы судостроительных предприятий.
