Об истории доказательства проблемы Пуанкаре и феномене Перельмана в интервью научному обозревателю «Радио Свобода» Ольге Орловой рассказал главный научный сотрудник Математического института им. Стеклова Виктор Бухштабер.

Когда Вы впервые услышали о том, что Перельман решил проблему Пуанкаре?

— В 2003 г. я был с визитом в Мэриленде. А в это время Григорий сделал доклад в Массачусетском технологическом институте — это один из ведущих мировых центров математики. После доклада в Мэриленд посыпались звонки из MIT: насколько можно доверять тому, что говорит Перельман?

— Чем было вызвано недоверие?

— Тем, что топологическая проблема была решена не топологическими методами. Это были идеи теории уравнений частных производных, а в самом ключевом месте использовались идеи, пришедшие из теоретической физики. Поэтому когда нас стали спрашивать, насколько достоверно то, что предлагает Перельман, мы не могли однозначно ответить. Вместе с тем мы знали Григория как глубокого математика, и было понятно, что его заявка на решение проблемы Пуанкаре вполне серьезна.

— К проблеме Пуанкаре за минувшее столетие обращались многие ученые, в том числе и выдающиеся. В чем ее значение?

— Речь идет о ключевой топологической проблеме. Настоящая история топологии началась с 1895 г., когда Анри Пуанкаре опубликовал статью «Analysis situs». Начинается она примерно так: «Геометрия многих переменных связана с реальным миром. Сейчас это признано». Дальше в статье вводится такое понятие, как многообразие. Его легко понять даже человеку, который только начинает задумываться, чем занимаются математики. Геометрия трехмерного многообразия локально неотличима от геометрии нашего обыденного мира. А вот дальше многообразие возникает из-за того, что мы правильно склеиваем кусочки, и тогда, оказывается, локально все трехмерные многообразия устроены одинаково, а глобально мы можем построить многообразия, которые топологически совсем не одинаковы. Пуанкаре предложил некоторый критерий, по которому можно было бы отличить трехмерное многообразие от трехмерной сферы.

— Как развивалась история доказательства?

— Аналог проблемы Пуанкаре для нашей обычной двумерной сферы (это поверхность шарика) доказывается довольно просто. Аналог для высоких размерностей, начиная с пяти, тоже был доказан. Этот результат был получен Стивеном Смейлом в 60-х годах (медаль Филдса 1966 г.). Размерность четыре оказалась более специфической, но проблема тоже была решена в 1982 г. Майклом Фридманом (медаль Филдса 1986 г.). Оставалась проблема в размерности три, на которую именно и указывал сам Пуанкаре. Ее и решил в итоге Перельман (медаль Филдса 2006 г.).

— Каким образом?

— Теперь я вынужден употребить некоторые математические термины, но вы можете считать их просто междометиями. Дело в том, что много лет назад американский математик Ричард Гамильтон предложил идею, связанную с таким понятием, как поток Риччи. Это была программа, которая предлагала исследовать многообразия по тому, как ведут себя потоки Риччи на этих многообразиях. Я слышал, что, как только Григорий узнал о таком инструменте, как потоки Риччи, он дал знать Гамильтону о том, что у него есть идея, как решить проблему Пуанкаре. Но Гамильтон ему не поверил. Однако потом все-таки оказалось, что в самом деле, используя замечательный метод потоков Риччи, Григорий развил совершенно нестандартную технику, которая позволила использовать потоки Риччи для решения проблемы Пуанкаре. Кстати, впоследствии именно Ричард Гамильтон представлял широкой математической общественности идеи доказательства, полученного Перельманом.

— Можно сказать, что настороженное отношение к доказательству Перельмана было естественным? Когда человек в науке предлагает что-то совсем новое, это обычно заставляет усомниться.

— Конечно. Ну, представьте себе, что вы считаете себя специалистом в определенной области. А к вам приходит человек из другой области и говорит: я знаю, как решить твою задачу. Естественно, это настораживает.

— Чем был вызван столь длительный период проверки доказательства Перельмана?

— В Положении о премии Клэя четко написано: если вы решили одну из семи великих проблем, вы посылаете решение в журнал, этот журнал проводит рецензирование, публикует. Потом статья откладывается на два года. Если за эти два года никто из специалистов не нашел контраргументов, можете идти и получать свою премию. Заметим, что Положения Григорий не выполнил, он не послал свои статьи в журнал. Он просто выложил статью в Интернет. Сейчас можно и так делать. Но считается, если послать в солидный журнал, там проводится рецензирование специалистами, и это как бы знак качества. И вот здесь проявился характер Григория: он посчитал, что ему такой знак качества не нужен.

— И потому на проверку его доказательства были брошены целые «математические отряды»?

— Ведущие специалисты образовали группы для анализа текстов Перельмана. И, насколько я знаю, Григорий был открыт для сотрудничества с ними. Если он получал письмо с вопросом и находил, что этот вопрос содержательный, он на него отвечал. Начала работать известная китайская группа, которая на это получила серьезные деньги. Были группы и в Германии, в Америке. И чем дальше они углублялись в ткань доказательства, тем яснее видели, что все восстанавливается. Ведь настоящая математика построена во многом на ассоциациях. И когда возникают глубокие ассоциации, то ученый четко понимает, что его идея надежна. Но для процесса детальной записи требуется пройти длинный путь, надо подкреплять логику, надо обосновывать переход шаг за шагом. И если вас интуиция не подвела, если ассоциация содержательная, то это все восстанавливается. Вот, я думаю, так было и в случае с Григорием. У него было четкое убеждение: то, что он предложил, сработает.

— И это сработало?

— Да, я приведу еще один пример. Это было буквально несколько лет назад в Вене, я спросил одного крупного математика: каковы ваши впечатления о Перельмане? Он интересно ответил: «Я слышал доклады Перельмана на конференциях и на семинарах, не связанные с проблемой Пуанкаре, и я понял, что ему можно верить». Ведь ранее были заявки на решение проблемы Пуанкаре, но все они оказывались несостоятельными. Через некоторое время крупные математики поверили, что заявка Перельмана — это очень серьезно.

— Результатом такого доверия оказалось решение Филдсовского комитета о присуждении Григорию медали?

— Именно так. Присуждение Филдсовской медали происходит раз в четыре года, и это особое событие в мировой математике. Представьте себе, что вам предстоит пересечь бурную реку. И вы переходите ее по камням. Если камень надежный, можно на него опереться, то вы будете идти. А нет — свалитесь, и вас унесет поток. Так вот настоящая цель Филдсовского комитета — определить те «камни», на которые можно опереться в математике. Уверенность в том, что доказательство Григория серьезное и надежное, опиралась на то, что его уже знали.

— Однако Перельман отказался от высшей математической награды. Необычная ситуация. Видимо, первый случай в истории Филдсовской медали?

— Но не первый случай в истории с Перельманом. Начнем с того, что лет за десять до этого Григорий Перельман получил премию Европейского математического общества для молодых математиков и тоже от нее отказался. Только почему-то об этом мало говорят. Об этом можно прочесть в комментариях Сергея Петровича Новикова — члена комитета, присудившего Перельману премию.

— А в то время как это объясняли, например, члены Европейского комитета? Было понятно, почему Григорий отказывается?

— Были гипотезы. Надо понимать, что Григорий — это уникальное явление. Я могу еще такой пример привести. 2000 год., в Барселоне проходит Европейский математический конгресс, объявляется о десяти лауреатах Европейского математического общества. Я в то время был как раз избран членом исполкома этого общества. Ко мне подходит известный профессор из Кембриджа и говорит: «Виктор, разрешите мне представить нашего лауреата, мы ему уже предложили позицию в нашем университете». То есть молодой человек, удостоенный премии Европейского математического общества, сразу получил постоянную позицию в Кембридже. Премия создает такой статус, который позволяет двигаться на новом уровне, полностью стабилизирует твою жизнь, решает многие бытовые проблемы. А Григорий посчитал, что ему это не важно.

— Перельман проработал довольно долго в США. Известно, почему он вернулся в Россию?

— Понимаете... Григорий — это такая замкнутая сфера. Мы не можем в него заглянуть. Вероятно, у него были мотивы...

— Примечательно, что, несмотря на то, что один раз Григорий отказался от премии Европейского математического общества, второй раз отказался от премии Филдсовского комитета, тем не менее Институт Клэя спустя четыре года все равно решает признать его результаты, проигнорировав требование об обязательной публикации результата в рецензируемом журнале. Как это можно объяснить?

— Но ведь речь идет о результате высочайшего уровня, который входит в «семерку тысячелетия». А Фонд Клэя для того и создан, чтобы стимулировать решение этих семи проблем. И вот одна из проблем решена. То есть фактически, я считаю, Институт Клэя решил выполнить задачу, ради которой был создан.

— Фактически это было историческое признание того, что произошло, вне зависимости от того, как сам автор работы к этому относится?

— Конечно, премия отмечает не только конкретного человека, она отмечает как событие то, что он сделал. Насчет Григория много ходит легенд и у нас, и заграницей. Несколько лет назад, когда я был приглашен прочесть лекции в Корейский институт высших исследований, ко мне обратился один из ведущих математиков этого института: «Мы слышали, что в России Перельману нехорошо, как вы считаете, можно ли сделать так, чтобы он к нам переехал?» Буквально через некоторое время я приезжаю в Кембридж, в Манчестер, и слышу такие же разговоры.

— А с чем связан уход из математики Григория Перельмана?

— Знаете, сколько ему лет? Он 1966 года рождения, ему уже за сорок. Можно привести примеры математиков, которые получили фундаментальные результаты, но в сорок лет прекратили заниматься наукой. Не надо к этому относиться, как к трагедии. Люди ведь очень разные. Есть и обратные примеры. И в первую очередь недавно от нас ушедший Израиль Моисеевич Гельфанд. В 2002 г. я делал доклад на его семинаре, и меня поразило, как живо он воспринимал новые идеи, выдвигал оригинальные гипотезы. А ведь ему было тогда 89 лет. Но большинство выдающихся математиков свои звездные результаты получили до сорока лет. Что касается Григория, то мы не знаем, каков его сегодняшний потенциал и как он будет потом реализовываться

— С одной стороны, если посмотреть на эту историю с отказом от премии, от общественной жизни, от науки, вырисовывается образ человека странного и нелюдимого. Тем более интересно услышать отзывы старших коллег о Перельмане-ученом. Например, Анатолий Вершик из Санкт-Петербургского отделения математического института имени Стеклова дал такой комментарий: «Помимо огромной «пробивной» силы таланта Григория Перельмана, я считаю, что здесь сыграла роль и традиция, характерная для наших российских математических школ, в данном случае геометрической школы Александрова. Стремиться рассматривать задачу в широком контексте, использовать методы смежных областей, обнаруживать универсальный характер изучаемых явлений».

 

Или другой отзыв о Перельмане от Абелевского лауреата Михаила Громова: «Да какой же он одиночка? Это вы бросьте. Перельман - ученый, исключительно хорошо воспринимающий идеи и влияние разных людей. Он индивидуалистический человек, но он совсем не в вакууме». В частности, Громов указал на Юрия Бураго, который, как считает Громов, повлиял на Перельмана на раннем этапе. И вот в связи с этим удивительно, что действительно вырисовывается образ человека, в математическом смысле социально адекватного. То есть те идеи от математиков, которые ему нужны и полезны, он слышит и воспринимает чрезвычайно плодотворно. Но все, что связано с околоматематической жизнью, становится для него вторичным.

— Давайте разделим два вопроса. Первый — это решение проблемы Пуанкаре Григорием Перельманом, а второе — феномен Перельмана. Известно, что Филдсовские медали в Мадриде вручал король Испании. На одной из конференций я спросил президента Испанского математического общества: «Что ответит случайный человек в Испании на вопрос: «кто самый великий математик?» Она рассмеялась и сказала: «Конечно, Перельман -он отказался получать премию из рук короля». Интерес к математике несравненно возрос благодаря феномену Перельмана. Что касается математической восприимчивости Григория, то она несомненна. Ленинград, Санкт-Петербург, — это совершенно замечательное место, где была создана глубочайшая геометрическая школа Александра Даниловича Александрова. Широко известен вклад в математику и физику школы Ольги Александровны Ладыженской. Когда я говорю, что Перельман применил для решения проблем идеи из физики — это, конечно, пришло из школы Ладыженской. Я думаю, что персонально на его талант никто так сильно не повлиял, но он оказался в таком месте, где сошлись разные идеи и он смог их уловить и соединить.

— Подводя итог рассказу о Перельмане, как Вы оцениваете сейчас ситуацию — как частную историю, или в ней есть нечто симптоматичное?

— Я считаю, что это индивидуальная история конкретного человека Григория Перельмана. Он себя проявил, он вошел в историю науки — не только математики! — в историю науки. Но дальше надо дать ему жить его жизнью.